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内容简介 本书针对半线性微分方程中含有的非线性项f（u），在有限元计算中将插值Ihf（uh）代替f（uh），从而得到一种简化的有限元法——插值系数有限元法.同经典的有限元求解非线性微分方程相比，插值系数有限元法是一种高效而经济的算法.本书用中国学派独创的单元正交分析法及其修正技术，系统地对多种半线性微分方程问题，研究了插值系数有限元的超收敛性，对其性质和相关结构做出比较完整的理论分析，为某些应用非线性微分方程的数值模拟和计算提供一种高精度的高效计算方法． 本书可供高等院校计算数学专业的师生以及科研人员和工程技术人员参考. 前言 20世纪60年代以来，中国、美国和西欧的计算数学学者们各自独立地发明了有限元法.这是当代计算数学进展的里程碑，意义重大，影响深远.中国学者独有的单元正交方法及其校正技术在有限元法的研究上取得了很大的成就.本书的目的是试图向读者介绍解决一类非线性微分方程插值系数有限元方法及其超收敛性的理论研究成果.全书分为十章. 第一章介绍了国际上研究此类问题已有的结果和进展，主要阐述插值系数有限元法的研究背景与现状. 第二章给出研究插值系数有限元所需的工具与引理，引入了Legendre正交展开和M拟正交展开的定义及相关性质等，介绍了单元分析法及其校正技术的基本思想. 第三章简单介绍常微分方程初值问题连续有限元法与间断有限元法，以及已有的利用单元正交逼近校正技巧证明其收敛性与超收敛性的主要成果. 以后几章是本书作者的主要研究内容：即将插值系数有限元法ICFE用于求解各种不同问题的收敛性和超收敛性. 第四章利用单元正交逼近校正技巧，研究解半线性常微分方程初值问题的超收敛性，并推导了其重构导数的强超收敛性.随后把该方法用于研究一个非线性振动问题的振动频率，与常用的奇异摄动法相比，插值系数有限元法有更高的效益. 第五章研究求解半线性椭圆问题，首先给出了已有的两点边值问题的结果，然后分别研究了三角形二次元与任意矩形元的超收敛性，最后对这两种单元类型都给出了典型的数值例子. 第六章研究插值系数有限元求解半线性抛物初边值问题，对一维情形，分别研究了半离散和全离散格式的超收敛性，对二维情形则研究了半离散三角形元的任意次矩形元的超收敛性. 第七章研究了二维情形的半线性双曲问题的半离散和全离散插值系数有限元法，并利用较简洁的方法证明了它们的收敛性． 第八章针对非线性微分方程最优控制问题，研究了插值系数混合有限元方法，获得了一种求解一类非线性最优控制问题简洁而高效的计算格式，并进行了相应的误差分析,拓展了插值系数混合有限元法在最优控制问题方面的研究与计算. 第九章针对一类半线性两点边值问题和半线性椭圆边值问题，研究了插值系数最小二乘混合有限元方法，并通过引进投影算子和对偶问题进行收敛性分析． 第十章介绍将插值系数思想用于非线性微分方程有限体积法研究，并研究了非线性常微分方程和两点边值问题插值系数有限体积元法及其收敛性. 为撰写本书，作者直接或间接引用了国内外较多文献的成果，非常感谢同行的研究和帮助.作者在非线性微分方程插值系数有限元和有限体积元方面的研究工作先后得到了国家自然科学基金、中国博士后科研基金、湖南省自然科学基金、湖南省科技厅科技计划项目基金和湖南省教育厅科研基金的支持，特此致谢． 本书的最终出版得到了湖南科技大学学术出版基金的全额资助.作者希望本书的出版有助于有限元方法用于非线性微分方程计算的研究，并促进其进一步的发展.由于作者水平有限，书中难免会有不少疏漏之处，敬请读者批评指教． 熊之光 2014年12月于湘潭 目录 第一章绪论1 §1.1有限元方法及发展1 §1.2插值系数有限元法的基本概念2 §1.3插值系数有限元法研究的发展状况3 第二章基本理论工具5 §2.1两类基本正交展开5 §2.2正交展开的基本性质8 §2.3单元分析法的正交修正技术11 第三章常微分方程有限元法14 §3.1古典差分格式简介14 §3.2连续有限元18 §3.3间断有限元23 第四章非线性常微分方程34 §4.1连续有限元的超收敛性34 §4.2有限元导数重构的强超收敛性40 §4.3非线性振动计算频率的新算法44 第五章半线性椭圆问题53 §5.1半线性两点边值问题研究简述53 §5.2三角形二次插值系数有限元法56 5.2.1数值格式与主要结果56 5.2.2三角形二次元的M展开57 5.2.3线性问题的超收敛性59 5.2.4半线性问题超收敛定理的证明61 5.2.5数例64 §5.3插值系数矩形有限元65 5.3.1数值格式与主要结果65 5.3.2矩形插值函数的构造及线性问题的超收敛性66 5.3.3非线性问题超收敛性68 5.3.4数例71 第六章半线性抛物问题73 §6.1一维空间情形的半离散有限元73 §6.2一维空间情形的连续时间全离散有限元76 6.2.1数值格式与主要结果76 6.2.2基本误差估计77 6.2.3网格节点的超收敛性81 6.2.4数例85 §6.3二维空间情形的半离散有限元85 6.3.1三角形二次插值系数有限元法86 6.3.2插值系数矩形有限元88 第七章半线性双曲问题91 §7.1半离散有限元及其收敛性91 §7.2全离散有限元及其收敛性94 第八章非线性最优控制问题100 §8.1最优控制问题的简单介绍100 §8.2一维最优控制问题102 8.2.1插值系数混合有限元计算格式102 8.2.2先验误差估计104 8.2.3数值实验108 §8.3二维最优控制问题109 8.3.1问题的提出110 8.3.2仅对状态方程中非线性项作插值处理的情形111 8.3.3状态和对偶状态方程中非线性项同时作插值处理115 第九章基于最小二乘的混合有限元117 §9.1半线性两点边值问题117 §9.2半线性椭圆问题127 第十章插值系数有限体积元法135 §10.1非线性常微分方程初值问题135 10.1.1线性体积元法135 10.1.2二次体积元法139 10.1.3数值例子142 §10.2半线性两点边值问题142 10.2.1线性有限体积元143 10.2.2二次有限体积元155 10.2.3数值例子162 参考文献1648 |
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